Oppgåve 1 (18 poeng)

a) Vis at den deriverte til funksjonen \(O(x)= \frac{500}{x}+8x^2\) er

\(O'(x)=\frac{-500+16x^3}{x^2}\)

b) Deriver funksjonene

1) \(f(x)=3In(2x)\)

2) \(g(x)=3x\cdot e^{x^2}\)

c) Vi har gitt polynomfunksjonen: \(f(x)=x^3-3x^2-13x+15\)

1) Vis at f(1)=0. Bruk prolunomdivisjon til å faktorisere f(x) i førstegradsfaktorar.

2) Løys ulikskapen \(f(x)\leq 0\)

d) Mengda av lava som sprutar ut per time ved eit vulkanutbrot, kan tilnærma beskrivast ved eit funksjonsuttrykk f(t). Fuksjonsverdiane er målte i tonn, og t er talet på timar etter byrjinga av utbrotet. Du får vite at: f(0)=300, f'(10)=0 og f”(10)=-10. Kva kan du seie om vulkanutbrotet på grunnlag av desse opplysningane?

e) Skriv så enkelt som mogleg:

\(lg(a^2*b)+lg(a*b^2)+lg(\frac{a}{b^3})\)

f) Skriv så enkelt som mogleg:

\(\frac{2x+10}{x^2-25} + \frac{x}{x+5} – \frac{2}{x-5}\)

g) Ei linje I har parameterframstillinga

\(l=\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)

Eit punkt P (4 , 1) ligg utanfor linja. Rekne ut avstanden frå P til linja I.

h) Eit linjestykke AB har lengde 10cm. Konstruer ein \(\Delta ABC\) der \(\angle C = 90^{\circ}\) og AC = 7cm

Oppgåve 2 (6 poeng)

I ein \(\Delta ABC\) er \(\angle A=90^{\circ}\). En sirkel med sentrum i S er innskrevet i trekanten. Sidene AC og BC tangerer sirkelen i punktene D og E. Linjen gjennom B og S skjærer DE i F. Se skissen til venstre.

Du får oppgitt at DC = EC.

Vi setter \(\angle ABC=v\) , \(\angle BCA=u\) og \(\angle BFE=x\)

a) Forklar at \(u+v=90^{\circ}\) og at \(\angle DEC=90^{\circ}-\frac{u}{2}\)

b) Forklar at \(\angle FBE=\frac{v}{2}\) og at \(\angle BEF=90^{\circ}+\frac{u}{2}\)

c) Vis at \(x=45^{\circ}\)

Oppgåve 3 (7 poeng)

Vi har eit rett prisme der lengda av grunnflata er fire gonger så stor som breidda. Volumet er \(200 cm^3\).
Vi set breidda lik x cm. Sjå skissa.

a) Vis at: \(h=\frac{50}{x^2}\)

b) Vis at overflata O a prismet kan skrives:

\(O(x)=\frac{500}{x}+8x^2\)

c) I oppgåve 1a) i Del 1 viste du at \(O'(x)=\frac{-500+16x^3}{x^2}\)

Bruk den deriverte til å finne den minste overflata O som prismet kan ha.

Kva er lengda, breidda og høgda no?

Vi har eit anna rett prisme der lengda av grunnflata er tre gonger så stor som breidda. Volumet er: \(200 cm^3\).

d) Finn den minste overflata som dette prismet kan ha.

Oppgåve 4 (4 poeng)

På ein skole er det 350 elevar. 150 av dei er gutar. Ei undersøkning viser at 100 gutar og 180 jenter har med seg matpakke kvar dag.
Ein elev blir trekt ut tilfeldig. La A og B vere dei to hendingane.

A: Eleven er ein gut.

B: Eleven har med seg matpakke kvar dag.

a) Forklar med ord kva vi mener med: \(P(A\cap B)\). Finn dette sannsynet.

b) Finn sannsyna: P(B) og P(B|A). Er dei to hendigane A og B uavhengige?

Oppgåve 5 (9 poeng)

Punkta A(2,-1) og B(5,3) er gitt.

a) Finn \(\overrightarrow{AB}\) og rekne ut \(\left | \overrightarrow{AB}\right |\).

Vektoren \(\overrightarrow{AC}=[-1,2]\) er gitt.

b) Bestem koordinatene til punktet C.

c) Rekne ut \(\overrightarrow{AC}*\overrightarrow{BC}\) og kommenter svaret.

Ei rett linje I går gjennom punktet P(3,-4) og er parallell med \(\overrightarrow{AC}\)

d) Finn ei parameterframstilling for linja I.

e) Finn koordinatene til punktet der I skjer y-aksen.

Punktet Q(8,6) er gitt. Ein vektor \(\overrightarrow{QR}\) har lengda 10, og R er eit punkt på linja I.

f) Bestem koordinatene til R.

Oppgåve 6 (2 poeng)

Du får oppgitt at ein funksjon f er definert for \(x\in \left \langle 0,10 \right \rangle\). Funksjonen er kontinuerleg, men ikkje deriverbar i x=2, og ikkje kontinuerleg i x=5. Teikne ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.

Oppgåve 7 (6 poeng)

I denne oppgåva skal vi undersøkje påstanden: *Alle primtall som er større enn 2, kan skrivast som differansen mellom to kvadrattall.*

a) Skriv av og fyll ut tabellen

I tabellen er p primtall, og \( n_{1} \) og \( n_{2}\) er naturlege tal, slik at:

\(n_{1}+n_{2}=p\)

\(n_{1}-n_{2}=1\)

b) Vis at vi kan skrive: \(n_{1}=\frac{p+1}{2}\) og \(n_{2}=\frac{p-1}{2}\)

c) Bevis at påstanden i ruta ovenfor er riktig.

Oppgåve 8 (8 poeng)

Matematikaren Arkimedes (ca. 287-212 f.Kr.)studerte figuren du ser nedanfor. Det kvite området på figuren kallar vi skomakarkniven. Området er avgrensa av ein ytre halvsirkel og to indre halvsirklar. Dei to indre halvsirklane, som er fargelagde på figuren, har sentrum i D og E. Dei indre halvsirklane har radius R og r. Punkta D, C og E ligg på linjestykket AB.